Niepewność pomiaru - wstęp do zagadnienia

Pojęcie “niepewność pomiaru” coraz częściej pojawia się w świadomości wszystkich osób, które mają styczność z aparaturą kontrolno-pomiarową. W poniższym artykule postaramy się odpowiedzieć na najczęściej padające pytania:

 

⦁    Czym różni się niepewność od błędu pomiaru i błędu granicznego?
⦁    Czym dokładnie jest niepewność pomiaru i jakie są jej składowe?

 

Jednocześnie już na wstępie chcielibyśmy podkreślić, że artykuł ten powinno się traktować bardziej jako wstęp do problematyki interpretacji wyników pomiarów. Już samo wyznaczanie niepewności, szczególnie w pomiarach pośrednich wymaga bardziej złożonego aparatu matematycznego i znajomości modeli statystycznych. Chcielibyśmy, aby ten artykuł posłużył jako solidna podstawa, a zarazem zachęta do dalszego zgłębienia tematyki.

Czym jest błąd pomiarowy?

W przypadku błędu pomiarowego mówimy o tym jaka jest różnica między wyliczoną wartością średniej z pomiarów danym miernikiem, a wartością odniesienia x0, zwaną również wartością wzorcową. Tak więc w przypadku błędu pomiarowego mamy przykładowo informację, o ile nasz multimetr zaniża lub zawyża pomiar prądu DC w konkretnym punkcie. 

 

Mówiąc wprost: błąd pomiarowy pozwala nam określić, o ile otrzymany przez nas wynik pomiaru, może faktycznie różnić się od tego co wskazuje przyrząd wzorcowy (o znacznie wyższej dokładności) i czy nadal będzie mógł zostać uznany za poprawny, np. wg danych z karty katalogowej producenta (mowa tu o opisanym poniżej błędzie granicznym).

Czym jest błąd graniczny?

Błąd graniczny jest pewnego rodzaju zapewnieniem ze strony producenta urządzenia pomiarowego, o ile maksymalnie możemy się pomylić wykonując pomiary przy pomocy tego miernika. Wartość tego błędu wyznacza nam dolną i górną granicę w których powinien znajdować się nasz pomiar, aby został uznany za zgodny z deklaracją producenta.

Czym jest niepewność pomiaru?

Najprościej mówiąc, jest to pewna “wątpliwość”, którą przypisujemy do wykonywanych pomiarów. Jest to bardzo ważna informacja pozwalająca na stwierdzenie, czy wykonywane pomiary są wystarczająco dokładne do naszych potrzeb. Niepewność mówi o tym w jakim przedziale z określonym prawdopodobieństwem może znajdować się rzeczywista wartość zmierzona danym urządzeniem względem wyliczonej wartości średniej. 

 

W uproszczeniu mówi nam o ile maksymalnie mogliśmy się pomylić podczas pomiaru wartości średniej, a co za tym idzie, o ile maksymalnie wyliczony błąd pomiarowy może różnić się od swojej rzeczywistej wartości. Pojęcie to uwzględnia różne czynniki, które miały wpływ na dokładność. Mogą to być takie czynniki jak, np. ile różnią się takie same pomiary między sobą, jeśli wykonamy ich 10, jeden za drugim (niepewność typu A) albo o ile na wynik pomiaru mogą mieć jeszcze wpływ takie czynniki jak, np. temperatura, dokładność przyrządu wzorcowego itd. (czyli niepewność typu B). Niepewność jako wartość liczbowa określa prawdopodobieństwo na ile uzyskany wynik pomiaru można traktować jako poprawny, a na ile nie. Więcej na ten temat zostanie poruszone w artykule poświęconemu ocenie zgodności wyników.

W celu jeszcze lepszego zobrazowania różnic między tymi pojęciami przyjmijmy następującą sytuację: Otrzymaliśmy z laboratorium świadectwo wzorcowania multimetru, w którym z tabeli możemy odczytać następujące dane:

 

  • Wartość odniesienia: x0 = 25,00 [mA]
  • Wartość zmierzona: xśr = 25,02 [mA]
  • Błąd pomiaru: Δx = 0,02 [mA]
  • Rozszerzona niepewność pomiaru: U = 0,0093 [mA]
  • Tolerancja / Największy dopuszczalny błąd ± (wg specyfikacji producenta) = 0,10 [mA]

Rysunek 1. Graficzna reprezentacja wyniku wzorcowania

Na powyższym rysunku zieloną kropką oznaczono zmierzoną wartość średnią przy pomocy multimetru równą 25,02 mA. Natomiast z precyzyjnego kalibratora zadano wartość odniesienia równą 25 mA. Rozszerzona niepewność pomiaru została tutaj przedstawiona jako obszar oddzielony czerwonymi liniami [-U;+U] wokół zmierzonej wartości średniej z pomiarów. Tak naprawdę rzeczywista wartość, którą wskazuje badany multimetr, może się znajdować wszędzie w obszarze ograniczonym przez czerwone linie, a co za tym idzie, rzeczywisty błąd pomiaru tego multimetru, może maksymalnie wynosić od 0,0107 mA do 0,0293 mA. Jak można zauważyć, nawet w skrajnym przypadku, błąd pomiarowy nie ma możliwości, aby przekroczyć tolerancję wskazań deklarowaną przez producenta. 

Niepewność typu A i B

Aby jak najlepiej poznać niepewność z jaką wykonaliśmy pomiary, należałoby wyliczyć niepewność typu A charakteryzującą rozrzut wskazań badanego urządzenia i niepewność typu B, pochodzącą od użytych wzorców i innych czynników wpływających na pomiar, jak temperatura otoczenia, czy niepewność eksperymentatora wykonującego pomiary.

Niepewność typu A

Powtarzając wiele razy dany pomiar jesteśmy w stanie zauważyć pewien rozrzut wyników pomiarowych. Miarą tego rozrzutu jest niepewność typu A - pierwsza składowa całkowitego rachunku niepewności. Niepewność typu A jest możliwa do wyliczenia w sytuacji, gdy mamy możliwość wykonania wielu niezależnych pomiarów w takich samych warunkach pomiarowych. Jeśli wykonaliśmy dostatecznie dużo pomiarów, otrzymane wyniki charakteryzuje zauważalny rozrzut. Zmierzona wartość średnia powstaje poprzez dodanie do siebie wartości wszystkich punktów pomiarowych, a następnie podzielenie otrzymanej sumy przez liczbę wykonanych pomiarów. Jest to więc średnią arytmetyczną wartości x, zwaną dalej xśr. Poniższy wzór odnosi się do liczby pomiarów równej „n”:

[1]

gdzie:
n - liczba wykonanych pomiarów
xi - i-ty pomiar z danej serii

Niepewność typu A jest równa odchyleniu standardowemu eksperymentalnemu średniej [1]. Jest to dodatni pierwiastek z wariancji wielkości xśr. Wariancja s2(xśr) to podstawowa miara zróżnicowania otrzymanych wyników. Im jest niższa tym więcej zebranych punktów pomiarowych jest skupiona wokół otrzymanej wartości średniej. 

Rysunek 2. Wariancja wyników zakładając, że rozkład wartości x jest normalny

Wartość wariancji wielkości xśr w tym wypadku należy zdefiniować jako średnią arytmetyczną z kwadratów różnicy poszczególnych pomiarów od wartości średniej. Mówiąc w uproszczeniu, mierzymy w ten sposób „odległość” poszczególnych punktów pomiarowych od wyliczonej wartości średniej. Im mniejsze te odległości będą, tym ich suma będzie mniejsza, a co za tym idzie, spadnie nam rozrzut wyników. Wzór ogólny na wariancję przyjmuje następującą postać:

[2]

Skoro niepewność typu A jest pierwiastkiem z wariancji, zatem jej wartość wyliczymy wyciągając pierwiastek z równania [2] i  możemy zapisać następująco:

[3]

Uwaga: Należy pamiętać, że przy małej liczbie powtórzonych pomiarów (n<10) oszacowanie niepewności powyższą metodą może nie być wiarygodne (1).

Przykład wyliczania niepewności typu A

Wykonaliśmy multimetrem 10 pomiarów, jeden po drugim. Wyniki zanotowano w Tab. 1

Numer pomiaru Zmierzona wartość
[V]
1 200,0
2 200,5
3 199,0
4 201,5
5 201,0
6 199,5
7 199,5
8 199,5
9 200,0
10 201,0
Tab. 1 Wynik 10 pomiarów napięcia V, wykonanych tym samym przyrządem.

Obliczanie niepewności powinniśmy zacząć od obliczenia wartości średniej, korzystając ze wzoru [1] mamy następujący wynik:

Znając wartość średniej możemy już przystąpić do wyliczenia niepewności typu A, korzystając z równania [3]:

Niepewność typu B

Kolejną ważną składową niepewności jest niepewność typu B.  Metoda ta skupia wokół siebie wszystkie inne metody niż statystyczna analiza serii pomiarowej. Niepewność typu B jest określana za pomocą wnikliwej analizy naukowej w oparciu o dostępne informacje na temat możliwej zmienności badanej własności fizycznej. Do tej kategorii informacji zaliczamy:

 

⦁  Dane uzyskane z wcześniej przeprowadzonych pomiarów tej samej wielkości mierzonej
⦁  Posiadane doświadczenie w przeprowadzaniu pomiarów
⦁  Znajomość zachowania się i właściwości odpowiednich materiałów i przyrządów pomiarowych
⦁  Specyfikacje dostarczona przez producenta
⦁  Dane z poprzednich świadectw wzorcowania
⦁  Niepewności związane z analogicznymi badań, uzyskane z literatury fachowej

 

W celu prawidłowego posługiwania się tą metodą, wymaga się od osoby przeprowadzającej pomiary, wnikliwej wiedzy opartej o doświadczenie w przeprowadzaniu podobnych badań oraz obszernej wiedzy z danego zakresu. Umiejętności te zdobywa się podczas praktyki pomiarowej. 

 

Najczęstszy przypadek stosowania metody typu B polega na korzystaniu ze specyfikacji urządzenia dostarczonego przez producenta lub danych z poprzednich kalibracji. W takich dokumentach wartość niepewności jest określona jako pewna wielokrotność niepewności standardowej i nazywana jest błędem granicznym. Wartość tego współczynnika jest zależna przede wszystkim od tego, z jakiego rozkładu pochodzą oraz, w przypadku rozkładu normalnego, od przyjętego poziomu ufności.

 

Dlatego też, aby przyjąć niepewność typu B z takiego dokumentu należy zapisaną wartość podzielić przez współczynnik odpowiadający przyjętemu współczynnikowi (Pkt. 4.3.3 z Przewodnika wyrażania niepewności (2)). Zdecydowanie w większości przypadków dane pochodzą z rozkładu normalnego lub prostokątnego. 

 

Rozkład normalny charakteryzuje się tym, że dystrybucja wyników wokół wartości średniej układa się w  charakterystyczną krzywą dzwonową. Im bliżej wartości średniej, tym więcej wyników znajduje się w tym obszarze. Obszar ten podzielono na 3 przedziały ufności.

Rysunek 3. Rozkład normalny wraz z poziomami ufności

Uwaga: w dokumentacjach technicznych często słowo „Accuracy” jest używane jako błąd graniczny. Jeśli brak informacji o przyjętym poziomie ufności, to należy przyjąć, że podane wartości należy rozpatrzeć jako rozkład prostokątny. W przypadku rozkładu normalnego, wzór na niepewność typu B wygląda następująco:

 [4]
gdzie:
Ux - obliczona wartość błędu granicznego na podstawie dokumentacji technicznej
k - przyjęty poziom ufności

Drugim najczęściej występującym przypadkiem dystrybucji wyników jest rozkład prostokątny. Stosowany jest kiedy rozkład prawdopodobieństwa jest z góry nieznany. 

Rysunek 5. Prostokątny rozkład prawdopodobieństwa

Zakłada on równomierne prawdopodobieństwo znajdowania się wyniku w każdym miejscu wyznaczonym w przedziale niepewności [–a;+a] od wartości średniej. Mając to na uwadze, niepewność typu B w tym przypadku wynosi (3):

 [5]

Przykład wyliczania niepewności typu B



Rysunek 6. Przykładowa dokumentacja techniczna multimetru Keysight (4)

Załóżmy, że wykonano jeden pomiar na zakresie napięcia DC 1000V i odczytano z multimetru wartość 200,000 V. W takim przypadku korzystamy z powyższej dokumentacji, przyjmując roczną specyfikację (producent gwarantuje założoną dokładność pod warunkiem, że urządzenie przeszło okresowe sprawdzenie metrologiczne nie później niż do roku). Wiedząc, że producent podaje specyfikację dla poziomu ufności 95%, korzystamy ze wzoru [4] i otrzymujemy następującą wartość niepewności typu B:


Niepewność złożona

Posiadając wiedzę o obu składnikach niepewności, przed przystąpieniem do wyliczania niepewności złożonej, należy podjąć decyzję, czy nie uzyskaliśmy sytuacji, w której jedna ze składowych jest mniejsza o rząd wielkości od drugiej. Taka sytuacja pozwala na pominięcie tego mniejszego składnika w dalszych rozważaniach. Ma to szczególne znaczenie w pomiarach bezpośrednich, w sytuacji kiedy na niepewność złożoną składa się więcej składników, dodatkowo skorelowanych. Dodatkowo przyjmujemy, że rozkład niepewności złożonej jest normalny. 

 [6]

Niepewność rozszerzona 

Ostatnią rzeczą, która nam pozostaje do zrobienia jest ustalenie niepewności rozszerzonej U, która to pozwoli nam na upewnienie się, że nasz wynik z odpowiednio wysokim prawdopodobieństwem będzie się znajdował w danym przedziale xśr ± U.

Zgodnie z wykresem widocznym na Rys. 3 w zależności od tego czy chcemy mieć 95%, czy 99% szansę należy dobrać ten współczynnik k = 2 lub k = 3.

 [7]

W następnej części zostanie poruszona kwestia oceny zgodności wyników otrzymanych przez laboratorium wzorcujące ze specyfikacją lub określonymi wymaganiami. Wraz z wejściem w życie normy PN-EN ISO/IEC 17025:2018-0 każde laboratorium wzorcujące, czy też badawcze, na życzenie klienta powinno wystawić ocenę zgodności wyników, stosując uzgodnioną z klientem zasadę podejmowania decyzji.

Artykuł opracował:

inż. Rafał Stasinkiewicz 


Pierwszy raz na naszym blogu?

Poznaj zakres usług Laboratorium Badawczo-Wzorcującego Merserwis

Przeczytaj również...