[Aktualizacja 25.06.2024]

Pojęcie “niepewności pomiaru” coraz częściej pojawia się w świadomości wszystkich osób, które mają styczność z aparaturą kontrolno-pomiarową oraz przeglądających wyniki pomiarów. W poniższym artykule postaramy się odpowiedzieć na najczęściej padające pytania:

• Czym różni się niepewność od błędu pomiaru i błędu granicznego?
• Czym dokładnie jest niepewność pomiaru i jakie są jej składowe?

Jednocześnie już na wstępie chcielibyśmy podkreślić, że artykuł ten powinno się traktować bardziej jako wstęp do problematyki interpretacji wyników pomiarów. Już samo wyrażanie niepewności pomiaru, szczególnie pomiarów pośrednich, wymaga bardziej złożonego aparatu matematycznego i znajomości modeli statystycznych. Chcielibyśmy, aby ten artykuł posłużył jako solidna podstawa, a zarazem zachęta do dalszego zgłębienia tematyki.

Czym jest błąd pomiarowy?

W przypadku błędu pomiarowego mówimy o tym jaka jest różnica między wyliczoną wartością średniej z pomiarów danym miernikiem, a wartością odniesienia x₀, zwaną również wartością referencyjną. Tak więc w przypadku błędu pomiarowego mamy informację, o ile miernik zaniża lub zawyża wyniki pomiarów, np. prądu DC w konkretnym punkcie.

Mówiąc wprost: błąd pomiarowy pozwala nam określić, o ile otrzymany przez nas wynik pomiaru, może faktycznie różnić się od wzorca (o znacznie wyższej dokładności) i czy nadal będzie mógł zostać uznany za poprawny, w odniesieniu do specyfikacji producenta (mowa tu o opisanym poniżej błędzie granicznym).

Czym jest błąd graniczny?

Błąd graniczny jest pewnego rodzaju zapewnieniem ze strony producenta urządzenia pomiarowego, o ile maksymalnie wynik pomiaru może się mylić wykonując pomiary. Wartość tego błędu wyznacza nam dolną i górną granicę w których powinien znajdować się nasz pomiar, aby został uznany za zgodny ze specyfikacją producenta.

Czym jest wyrażanie niepewności pomiaru?

Mówiąc najprościej o niepewności - jest to pewna “wątpliwość”, którą przypisujemy do wykonywanych pomiarów. Jest to bardzo ważna informacja pozwalająca na stwierdzenie, czy wykonywane pomiary są wystarczająco dokładne do naszych potrzeb. Niepewność mówi o tym w jakim przedziale z określonym prawdopodobieństwem może znajdować się rzeczywista wartość zmierzona danym urządzeniem względem wyliczonej wartości średniej.

Mówi nam o ile maksymalnie mogliśmy się pomylić podczas pomiaru wartości średniej, a co za tym idzie, o ile maksymalnie wyliczony błąd pomiarowy może różnić się od swojej rzeczywistej wartości. Pojęcie to uwzględnia różne czynniki, które miały wpływ na dokładność. Mogą to być takie czynniki jak, np. ile różnią się takie same pomiary między sobą, jeśli wykonamy ich 10, jeden za drugim (niepewność typu A) albo jak bardzo na wynik pomiaru mają wpływ takie czynniki jak, np. temperatura czy sama dokładność przyrządu wzorcowego. (czyli niepewność typu B). Niepewność jako wartość liczbowa określa prawdopodobieństwo na ile uzyskany wynik pomiaru można traktować jako poprawny, a na ile nie.

Więcej na ten temat zostanie poruszone w osobnym artykule poświęconemu ocenie zgodności wyników pomiaru.

W celu jeszcze lepszego zobrazowania różnic między tymi pojęciami przyjmijmy następującą sytuację:

Otrzymaliśmy z laboratorium wzorcującego świadectwo wzorcowania multimetru, w którym z tabeli możemy odczytać następujące dane:

• Wartość zmierzona (średnia wartość z serii 10 pomiarów) x_śr = 25,02 [mA]
• Wartość odniesienia x₀ = 25,00 [mA]
• Błąd pomiaru Δx =0,02 [mA]
• Rozszerzona niepewność pomiaru U = 0,03 [mA]
• Tolerancja / Największy dopuszczalny błąd (wg specyfikacji producenta) ± 0,10 [mA]

Rysunek 1. Graficzna reprezentacja wyniku wzorcowania

Na powyższym rysunku zieloną kropką oznaczono zmierzoną wartość średnią przy pomocy multimetru równą 25,02 mA. Natomiast z precyzyjnego kalibratora zadano wartość odniesienia równą 25 mA. Rozszerzona niepewność pomiaru została tutaj przedstawiona jako obszar oddzielony czerwonymi liniami [-U;+U] wokół zmierzonej wartości średniej z pomiarów.

Tak naprawdę rzeczywista wartość, którą wskazuje badany multimetr, może się znajdować wszędzie w obszarze ograniczonym przez czerwone linie, a co za tym idzie, rzeczywista wartość pomiaru tego multimetru, mieści się od 24,99 mA do 25,05 mA.

Jak można zauważyć, nawet w skrajnym przypadku, błąd pomiarowy nie ma możliwości, aby przekroczył tolerancję wskazań deklarowaną przez producenta.

Metody określania niepewności pomiaru typu A i B

Aby jak najlepiej poznać niepewność z jaką wykonaliśmy pomiary, należałoby wyliczyć niepewność typu A charakteryzującą rozrzut wskazań badanego urządzenia jako parametr związany z rozkładem wyników pomiarów wokół wartości rzeczywistej oraz niepewność typu B, pochodzącą od użytych wzorców i innych czynników wpływających na pomiar, jak temperatura otoczenia, czy niepewność osoby wykonującej pomiary.

Niepewność pomiaru typu A

Powtarzając wiele razy dany pomiar jesteśmy w stanie zauważyć pewien rozrzut wyników pomiarowych, związane jest to bezpośrednio z fizyką - w każdym momencie czasu wykonania pomiarów elementy układów pomiarowych są w trochę innym stanie i z inną dokładnością wykonują swoje działanie. Miarą tego rozrzutu jest niepewność typu A - pierwsza składowa całkowitego rachunku niepewności. Niepewność typu A jest możliwa do wyliczenia w sytuacji, gdy mamy możliwość wykonania wielu niezależnych pomiarów w takich samych zewnętrznych warunkach pomiarowych.

Jeśli wykonaliśmy dostatecznie dużo pomiarów, otrzymane wyniki pomiaru charakteryzuje zauważalny rozrzut. Zmierzona wartość średnia powstaje poprzez dodanie do siebie wartości wszystkich punktów pomiarowych, a następnie podzielenie otrzymanej sumy przez liczbę wykonanych pomiarów. Jest to więc średnią arytmetyczną wartości x, zwaną dalej xśr. Poniższy wzór odnosi się do liczby pomiarów równej „n”:

$$x_{\text{śr}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Niepewność typu A jest równa odchyleniu standardowemu eksperymentalnemu średniej [1]. Jest to dodatni pierwiastek z wariancji wielkości x_śr. Wariancja s2 (x_śr) to podstawowa miara zróżnicowania otrzymanych wyników. Im jest niższa tym więcej zebranych punktów pomiarowych jest skupiona wokół otrzymanej wartości średniej.

Rysunek 2. Wariancja wyników zakładając, że rozkład wartości x jest normalny

Wartość wariancji wielkości x_śr w tym wypadku należy zdefiniować jako średnią arytmetyczną z kwadratów różnicy poszczególnych pomiarów od wartości średniej. Mówiąc w uproszczeniu, mierzymy w ten sposób „odległość” poszczególnych punktów pomiarowych od wyliczonej wartości średniej. Im mniejsze te odległości będą, tym ich suma będzie mniejsza, a co za tym idzie, spadnie nam rozrzut wyników. Wzór ogólny na wariancję przyjmuje następującą postać:

$$s^2\left(\overline{x}\right)=\frac{1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^n(x-\overline{x}{)}^2$$

[2]

Skoro niepewność typu A jest pierwiastkiem z wariancji, zatem jej wartość wyliczymy wyciągając pierwiastek z równania [2] i możemy zapisać następująco:

$u_A\left(x_{\overline{sr}}\right)=s\left(x_{\overline{sr}}\right)=\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}{\sum }_{i=1}^n(x-x_{\overline{sr}}{)}^2}$

[3]

Uwaga: Należy pamiętać, że przy małej liczbie powtórzonych pomiarów (n<10) oszacowanie niepewności powyższą metodą może nie być wiarygodne ⁽¹⁾.

Przykład wyliczania niepewności typu A zgodnie z prawem propagacji niepewności

Wykonaliśmy multimetrem 10 pomiarów jednej wartości, jeden po drugim. Wyniki zanotowano w tabeli 1.

Tab. 1 Wynik 10 pomiarów napięcia V, wykonanych tym samym przyrządem.

Obliczanie niepewności powinniśmy zacząć od obliczenia wartości średniej, korzystając ze wzoru [1] mamy następujący wynik:

$x_{\text{śr}}=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{x}_i=\frac{1}{10}(200.0+200.5+\dots +201.0)=\frac{2001.5}{10}\left[V\right]=200.15\left[V\right]$

Znając wartość średniej możemy już przystąpić do wyliczenia niepewności typu A, korzystając z równania [3]:

$u_A\left(x_{\bar{x}}\right)=s\left(x_{\bar{x}}\right)=\sqrt{\frac{1}{10(10-1)}{\sum }_{i=1}^{10}(x_i-200.15{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{90}\left[\right(200-200.15{)}^2+(200.5-200.15{)}^2+\dots +(201-200.15{)}^2]}$

$u_A\left(x_{\bar{x}}\right)=0.2587362\left[V\right]\approx 0.26\left[V\right]$

Niepowność pomiaru typu B

Kolejną ważną składową niepewności jest niepewność typu B. Jedna z metod określania niepewności pomiaru to parametr związany z wszystkimi innymi metodami niż statystyczna analiza serii pomiarowej.

Niepewność typu B jest określana za pomocą wnikliwej analizy naukowej w oparciu o dostępne informacje na temat możliwej zmienności badanej własności fizycznej. Do tej kategorii informacji zaliczamy:

• Dane uzyskane z wcześniej przeprowadzonych pomiarów tej samej wielkości mierzonej
• Posiadane doświadczenie w przeprowadzaniu pomiarów
• Znajomość zachowania się i właściwości odpowiednich materiałów i przyrządów pomiarowych
• Specyfikacje dostarczona przez producenta
• Dane z poprzednich świadectw wzorcowania
• Niepewności związane z analogicznymi badań, uzyskane z literatury fachowej

W celu prawidłowego posługiwania się tą metodą, wymaga się od osoby przeprowadzającej pomiary, wnikliwej wiedzy opartej o doświadczenie w przeprowadzaniu podobnych badań oraz obszernej wiedzy z danego zakresu. Umiejętności te zdobywa się podczas praktyki pomiarowej.

Najczęstszy przypadek stosowania metody typu B polega na korzystaniu ze specyfikacji urządzenia dostarczonego przez producenta lub danych z poprzednich kalibracji. W takich dokumentach wartość niepewności jest określona jako pewna wielokrotność niepewności standardowej i nazywana jest błędem granicznym. Wartość tego współczynnika jest zależna przede wszystkim od tego, z jakiego rozkładu pochodzą oraz w przypadku rozkładu normalnego, od przyjętego poziomu ufności.

Dlatego też, aby przyjąć niepewność typu B z takiego dokumentu należy zapisaną wartość podzielić przez wartość odpowiadającą przyjętemu współczynnikowi (Pkt. 4.3.3 z Przewodnika wyrażania niepewności (2)). Zdecydowanie w większości przypadków dane te pochodzą z rozkładu normalnego lub prostokątnego.

Rozkład normalny charakteryzuje się tym, że rozrzut wyników wokół wartości średniej układa się w charakterystyczną krzywą dzwonową. Im bliżej wartości średniej, tym więcej wyników znajduje się w tym obszarze. Obszar ten jest podzielony na 3 przedziały ufności.

Uwaga: w dokumentacjach technicznych często słowo „Accuracy” jest używane jako błąd graniczny. Jeśli brak informacji o przyjętym poziomie ufności, to należy przyjąć, że podane wartości należy rozpatrzeć jako rozkład prostokątny. W przypadku rozkładu normalnego, wzór na niepewność typu B wygląda następująco:

$$u_B=\frac{Ux}{k}$$

Drugim najczęściej występującym przypadkiem dystrybucji wyników jest rozkład prostokątny. Stosowany jest, kiedy rozkład prawdopodobieństwa jest z góry nieznany.

Zakłada on równomierne prawdopodobieństwo znajdowania się wyniku w każdym miejscu wyznaczonym w przedziale niepewności [–a;+a] od wartości średniej.

Mając to na uwadze, niepewność typu B w tym przypadku wynosi (3):

$$u_B=\frac{a}{\sqrt{3}}$$

Przykład wyliczania niepewności typu B

Załóżmy, że na zakresie napięcia DC 1000V wykonano jeden pomiar i odczytano z multimetru wartość 200,000 V. W takim przypadku korzystamy z powyższej dokumentacji, przyjmując roczną specyfikację (producent gwarantuje założoną dokładność pod warunkiem, że urządzenie przeszło okresowe sprawdzenie metrologiczne nie później niż rok do roku).

Wiedząc, że producent podaje specyfikację dla poziomu ufności 95%, korzystamy ze wzoru [4] i otrzymujemy następującą wartość niepewności typu B:

$$u_B=\frac{200[V]\cdot 0,045\mathrm{\%}+1000[V]\cdot 0,001\mathrm{\%}}{2}=\frac{0,02[V]}{2}=0,0095[V]$$

Niepewność złożona w wynikach pomiarów wielkości fizycznych

Posiadając wiedzę o obu składnikach niepewności oraz jakości pomiarów, przed przystąpieniem do wyliczania niepewności złożonej, należy podjąć decyzję, czy nie uzyskaliśmy sytuacji, w której jedna ze składowych jest mniejsza o rząd wielkości od drugiej.

Taka sytuacja pozwala na pominięcie tego mniejszego składnika w dalszych rozważaniach, co jest istotne przy wyborze metody określania niepewności pomiaru. Ma to szczególne znaczenie w pomiarach bezpośrednich, w sytuacji, kiedy na niepewność złożoną składa się więcej składników, dodatkowo skorelowanych, co wpływa na ocenę niepewności pomiarowej.

Dodatkowo przyjmujemy, że rozkład niepewności złożonej jest normalny, co jest związane z pojęciem wartości rzeczywistej.

$$u_C=\sqrt{u_A^2+u_B^2}$$

[6]

Niepewność rozszerzona

Ostatnią rzeczą, która nam pozostaje do zrobienia jest ustalenie niepewności rozszerzonej, U, która to pozwoli nam na upewnienie się, że nasz wynik wielkości mierzonej z odpowiednio wysokim prawdopodobieństwem będzie się znajdował w danym przedziale x_śr ± U. Bez tego, wyniki pomiarów bez ich niepewności pomiarowej są jedynie wskazaniami.

Zgodnie z wykresem widocznym na Rys. 3 w zależności od tego czy chcemy mieć 95%, czy 99% szansę należy dobrać ten współczynnik k = 2 lub k = 3. To pozwala na precyzyjne określenie wyniki pomiarów wielkości fizycznych.

$$U=k\cdot u_c$$

[7]

W następnej części opisujemy kwestię stwierdzenia zgodności wyników otrzymanych przez laboratorium wzorcujące ze specyfikacją producenta lub określonymi wymaganiami.

Wraz z wejściem w życie normy PN-EN ISO/IEC 17025:2018-0 każde laboratorium wzorcujące, czy też badawcze, na życzenie klienta powinno wystawić ocenę zgodności wyników, stosując uzgodnioną z klientem zasadę podejmowania decyzji.

Informacje dodatkowe:
⁽¹⁾ EA-4/02 Wyrażanie niepewności pomiaru przy wzorcowaniu 
⁽²⁾ https://www.gum.gov.pl/ftp/pdf/Publikacje/Przewodnik_JCGM_100_ver__fin_27_08_2019_popr_.pdf
⁽³⁾ https://www.isobudgets.com/probability-distributions-for-measurement-uncertainty/
⁽⁴⁾ https://www.keysight.com/us/en/assets/7018-03846/data-sheets/5991-1983.pdf

Artykuł opracował inż. Rafał Stasinkiewicz 

Pierwszy raz na naszym blogu?

Poznaj zakres usług Laboratorium Badawczo-Wzorcującego Merserwis